Balken onderheving aan buiging

(Mechanica van de vaste stof  I126; authors see footnote)

English

Doelstelling: de applet laat toe zelf willekeurige oefeningen op te stellen. Men lost het zelf opgestelde probleem op en kan het eindresultaat (de uitwendige reactiekrachten en momenten, de dwarskracht, buigmoment en doorbuigingsgrafieken)  vergelijken met zijn eigen oplossing. Zowel isostatische als hyperstatische gevallen zijn mogelijk.

Omwille van samenwerkingsredenen blijft de applet in het Engels; maar hier volgt de Nederlandstalige uitleg. Deze Java Applet    heeft als doelstelling inwendige dwarskrachten, buigmomenten en buiging te berekenen voor balken onderheving aan buiging.   Dit kan door een puntbelasting (concentrated force), een verdeelde lineair variërende belasting en een uitwendig moment.

Klik op de "Beam View"  knop om de Applet op te starten.

Deze Applet laat toe achtereenvolgens belastingen toe te voegen. Per toevoeging kan er slechts een belasting toegevoegd worden. Dit laat toe de invloed van elke belasting te bestuderen. Besteed ook aandacht aan de samenhang van de grafieken. De verdeelde belasting, de inwendige dwarskrachten en de buigmomenten zijn opeenvolgende integratie niveau's.  De grafiek dient ook de randvoorwaarden te weerspiegelen. 
 

Input

Kies de juiste balk:

1. Cantilever Beam.( een zijde ingeklemd en andere vrij)
2. Both end pinned Beam  (beide opgelegd)
3. Both ends clamped beam.( beide uiteindes ingeklemd : Hyperstatisch)
4. One end pinned and the other end clamped (Propped cantilever Beam)(een uiteinde ingeklemd en andere opgelegd: Hyperstatisch).

Elke nieuwe keuze van het balk type vergt een Initialisatie. Bij het eerste aanklikken van de "Add Load" knop juist na de keuze van een balk type krijgen we in feite een initialisatie ("Intialize") en nog geen toevoeging van een belasting. Bij het tweede aanklikken van de "Add Load" knop wordt de belasting zoals op dat ogenblik ingevuld toegevoegd.

Voeg de belastingen een na een toe:

Kies uit drie types belastingen:

1. Concentrated Force (P). (Puntbelasting)
2. Linearly Distributed Load (W1 to W2). (lineair variërende belasting ; constant is speciaal geval)
3. Moment (M).  (Uitwendig Moment aangrijpend op een Punt)

We gebruiken SI-eenheden voor Puntbelasting ( Concentrated Force P), voor Momentbelasting  ( Moment M)  en voor verdeelde belastingen (Linearly distributed load w1 tot w2). De basis-eenheid is Newton (N).  In het geval van een puntbelasting en een geconcentreerd moment wordt het aangrijpingspunt aangegeven ( Start Point x=a)  als de afstand tot het linker-uiteinde van de balk. In het geval van een verdeelde belasting wordt eveneens het eindpunt aangeven ( End Point x=b) en de eindwaarde van de verdeelde belasting  ( load density w2) . Deze twee laatste inputvelden worden genegeerd in het geval van puntbelastingen ( kracht of moment). De krachten en de verdeelde belastingen worden positief ingevuld indien naar beneden gericht. Het belastend moment wordt positief ingevuld indien wijzerzin (omgekeerd aan de rechterhandregel). Het invullen van negatieve waardes betekent dus een omgekeerde zin. 

Voor lineair verdeelde belastingen ( Linearly Distributed Load), is het noodzakelijk de linkse waarde ( left end load density w1) en de rechtse waarde (right end load density w2)  alsook het start punt (start point a)   en het eindpunt te definiëren (end point b).  
Een uniforme belasting wordt ingevoerd door dezelfde waarden w1 and w2 in te vullen in de inputvelden.
Een driehoekige belasting kan opgebouwd worden door achtereenvolgens twee naasteenliggende verdeelde belastingen toe te voegen (Add Load): bvb. eerst een linkse verdeelde belasting van  w1=0 tot w2= het maximum en dan vervolgens een rechtse verdeelde belasting van w1= het maximum tot w2= 0, waarbij b van de eerste linkse gelijk is aan a van de tweede rechtse .

Alternatief is de Table Input mogelijk als een Option van de Menu bar. Elke lijn bevat de locatie van het punt en de waarde van de verdeelde belasting gescheiden door een spatie, tab of komma gevolgd door enter om een nieuwe lijn te bekomen. Gelijkaardig door de "ADD" knop aan te klikken wordt de belasting toegevoegd.

Om de doorbuiging te berekenen worden de lengte van de balk (length of the Beam L), de elasticiteitsmodulus (Young's modulus E in MPa ), en het lineaire traagheidsmoment (moment inertia I) ingevuld. Telkens een van deze waarden gewijzigd wordt dienen we opnieuw te initializeren. Een applet werd toegevoegd om voor een aantal dwarsdoorsneden het traagheidsmoment te berekenen en automatisch in te vullen. Het programma laat alleen constante eigenschappen over de totale lengte van de balk toe. Indien men slechts geïnteresseerd is dwarskrachten en buigmomenten kan men best de default waarden voor E en I behouden.

OutPut

Na het aanklikken van Add wordt een belasting toegevoegd. Het effect wordt getoond d.m.v. de grafieken van buiging, inwendige dwarskrachten en buigmomenten. 

De buiging wordt visueel gemaakt als een blauwe lijn op de balk grafiek met een overdrijving van de vertikale schaal.  De relatieve schaal is vermeld beneden van het venster.

Het dwarskrachten V, en inwendige buigmomenten diagramma M worden getoond onder de balkgrafiek. De teken conventies worden getoond in het help-menu.

De uitwendige reactie krachten en momenten staan in het rood onderaan het buigmomenten diagramma. Indien de reactiekracht negatief wordt bij een oplegging is dan verschijnt er een waarschuwing. Een dergelijke negatieve reactiekracht kan welliswaar niet maar ev. kan men door extra belasting toe te voegen deze situatie teniet doen. Vandaar is er doelbewust geöpteerd voor een waarschuwing zonder meer.

Door de cursor van de muis te plaatsen op het diagramma en te klikken krijgt men de locatie ( x-waarde op de balk), de dwarskracht, het buigmoment en de doorbuiging op die sectie van de balk.Deze waarden verschijnen in blauwe kleur onder het momenten diagramma.

De Table output window  toont de waardes van dwarskrachten, buigmomenten en doorbuiging. Specifieer het aantal punten. 

Berekening

Uit de onderstaande referentie worden de diverse vergelijkingen gebruikt.  Aan de hand van superpositie wordt het gecombineerde effect van meervoudige belastingen berekend. De teken-conventies zijn aangepast aan de cursus.
 

Reference

Roark, Raymond J. and Young, Warren C. Formulas for Stress and Strain, McGraw Hill, 1975, p104-113.

Original applet made at Virginia Polytechnic and Institute and State University by Yong Yook Kim  
Adapted to SI-units, Sign-conventions and expanded for course I126 and extended with the calculation of moments of inertia by Andrey Solomin and Guido Wyseure for project OOI98/22 sponsored by the Onderwijsraad of the KULeuven.